Logo Akademii Kopernikańskiej
  • Akademia
    • O Akademii Kopernikańskiej
      • Zgromadzenie Ogólne
      • Prezydium AK
      • Centrum Badawcze
      • Biuro Akademii Kopernikańskiej
    • Izby Akademii Kopernikańskiej:
      • Izba Astronomii i Nauk Matematyczno-Przyrodniczych
      • Izba Nauk Medycznych
      • Izba Nauk Ekonomicznych i Zarządzania
      • Izba Filozofii i Teologii
      • Izba Nauk Prawnych
    • Nagrody Kopernikańskie
      • Ambasadorowie Akademii Kopernikańskiej
    • Współpraca Akademii Kopernikańskiej:
      • Partnerzy Akademii Kopernikańskiej
      • Partnerzy w promocji Wystawy
  • Światowy Kongres Kopernikański
    • I Światowy Kongres Kopernikański 2023
      • Program
      • Ustanowienie Akademii Kopernikańskiej
    • Panele konferencyjne:
      • Astronomia i Nauki Matematyczno-Przyrodnicze
      • Ekonomia i Zarządzanie
      • Prawo
      • Filozofia i Teologia
      • Nauki Medyczne
    • Archiwum I ŚKK:
      • YouTube
      • Kopernik TV
      • Kronika Aktualności
      • Galeria zdjęć
  • Wokół Mikołaja Kopernika
    • Obchody urodzin Mikołaja Kopernika:
      • 550 rocznica urodzin – I Światowy Kongres Kopernikański 2023
      • 552 rocznica urodzin – Audycja Radiowa Inspirowana Wystawą
    • Dzieła Mikołaja Kopernika
    • Cytaty Mikołaja Kopernika
    • Wystawa
      • Konkursy o Mikołaju Koperniku
    • Wykłady Szlakiem Mikołaja Kopernika:
      • Przystanek Lidzbark Warmiński
  • Wydawnictwo AK (WAK)
    • O Wydawnictwie
    • Informacje dla Autorów
    • Nowości wydawnicze
    • Periodyki
    • Komitet Redakcyjny i Rada Naukowa
  • Aktualności
  • Kontakt
Menu
Współpraca nauki i biznesu. W piątek rusza Świętokrzyskie Forum Rozwoju

Współpraca nauki i biznesu. W piątek rusza Świętokrzyskie Forum Rozwoju

utworzone przez admin | wrz 21, 2023 | Aktualności

22 września w Kielcach odbędzie się drugie Świętokrzyskie Forum Rozwoju: Edukacja-Nauka-Rozwój. Partnerem strategicznym wydarzenia jest Akademia Kopernikańska. Rozmowy o współpracy ośrodków naukowych i przedsiębiorstw, okazja do wymiany dobrych praktyk i dyskusji o...
Nowe perspektywy współpracy. Rozmowy w Akademii Kopernikańskiej z delegacją z Tajwanu

Nowe perspektywy współpracy. Rozmowy w Akademii Kopernikańskiej z delegacją z Tajwanu

utworzone przez admin | wrz 21, 2023 | Aktualności

W Akademii Kopernikańskiej odbyło się spotkanie przedstawicieli Ministerstwa Edukacji Tajwanu oraz władz tajwańskich szkół wyższych z reprezentacjami największych polskich uczelni, w tym Uniwersytetu Wrocławskiego, Szkoły Głównej Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie i...
Prof. Górski: Chcemy, aby Akademia była żywym pomnikiem Mikołaja Kopernika

Prof. Górski: Chcemy, aby Akademia była żywym pomnikiem Mikołaja Kopernika

utworzone przez admin | wrz 18, 2023 | Aktualności

Chcemy przywrócić Kopernikowi należne mu miejsce w wymiarze światowym – mówił Sekretarz Generalny Akademii Kopernikańskiej prof. dr hab. Krzysztof Górski podczas uroczystości otwarcia Kolegium Nauk Prawnych Szkoły Głównej Mikołaja Kopernika w Lublinie. Otwarcie...
Czarnek: Unia Europejska jako formuła pokojowa jest gigantycznym sukcesem, trzeba o nią walczyć

Czarnek: Unia Europejska jako formuła pokojowa jest gigantycznym sukcesem, trzeba o nią walczyć

utworzone przez admin | wrz 16, 2023 | Aktualności

– Dopóki marksizm nie dorwał się do Unii Europejskiej, dopóty funkcjonowała ona tak jak powinna – mówił minister edukacji i nauki Przemysław Czarnek podczas uroczystości otwarcia Kolegium Nauk Prawnych Szkoły Głównej Mikołaja Kopernika w Lublinie. Minister edukacji i...
„Czy federalizacja Unii Europejskiej jest zagrożeniem dla Polski i Europy?”. III dzień konferencji [TRANSMISJA]

„Czy federalizacja Unii Europejskiej jest zagrożeniem dla Polski i Europy?”. III dzień konferencji [TRANSMISJA]

utworzone przez admin | wrz 15, 2023 | Aktualności

Zapraszamy do oglądania transmisji z trzeciego dnia konferencji poświęconej różnym aspektom procesu federalizacji wspólnoty europejskiej i ich wpływowi na stabilność oraz rozwój Unii Europejskiej. Jak kierunek zmian w UE wpływa na sytuację Polski i całego kontynentu?...
„Czy federalizacja Unii Europejskiej jest zagrożeniem dla Polski i Europy?”. II dzień konferencji [TRANSMISJA]

„Czy federalizacja Unii Europejskiej jest zagrożeniem dla Polski i Europy?”. II dzień konferencji [TRANSMISJA]

utworzone przez admin | wrz 14, 2023 | Aktualności

Zapraszamy do oglądania transmisji z drugiego dnia konferencji poświęconej różnym aspektom procesu federalizacji wspólnoty europejskiej i ich wpływowi na stabilność oraz rozwój Unii Europejskiej. Jak kierunek zmian w UE wpływa na sytuację Polski i całego kontynentu?...
« Starsze wpisy
Kolejne wpisy »

Recent Posts

  • Astronomia bliżej nas: o potrzebie popularyzacji nauki na przykładzie sesji kończącej 42 Zjazd PTA
  • Nowa publikacja Wydawnictwa Akademii Kopernikańskiej.
  • Spotkanie laureatów Olimpiady Matematycznej w Akademii Kopernikańskiej
  • Rozpoczęcie rozmów dla nawiązania współpracy naukowej z Regionem Flandrii 
  • Szpital św. Ducha we Fromborku – Dział Historii Medycyny Muzeum Mikołaja Kopernika.

Recent Comments

Brak komentarzy do wyświetlenia.
Cudzysłów
Kopernikańskie twierdzenia cosinusów dla trójkątów sferycznych

Rozdział XIV

Twierdzenia III i XII

Cudzysłów
Rozważamy trzy punkty A, B, i C na sferze o promieniu R. Jeżeli połączymy je łukami (wzdłuż kół wielkich) to otrzymamy trójkąt sferyczny ABC.
Rozważamy trójkąty, które są prostokątne i mają boki krótsze niż półokrąg, jak na rysunku.
Cudzysłów
III Twierdzenie Kopernika:

W prostokątnym trójkącie sferycznym ABC na sferze o promieniu R (gdzie kąt C jest prosty) zachodzą następujące proporcje pomiędzy długościami boków:

AB / BC = R / BC

Czyli że stosunek przeciwprostokątnej do jednej z przyprostokątnych jest równy stosunkowi promienia do drugiej przyprostokątnej. Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki, to możemy znaleźć trzeci.

[Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

Cudzysłów
Czyli Kopernik dowiódł szczególną wersję twierdzenia cosinusów dla trójkątów sferycznych.  Teraz możemy  założyć że promień sfery R =1.

Mierzymy w radianach długość boku (łuku) leżącego naprzeciwko danego kąta jako łuku na sferze (od środka sfery) i mamy:

AB = c         BC = a         AC = b
(tutaj a, b, c są miarami kątów AOB, BOC, AOC w radianach)

Jeżeli kąt C jest prosty, możemy zapisać twierdzenie Kopernika jako

cos c / cos b = cos a

[Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

Cudzysłów
Twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów sferycznych

Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki, to możemy znaleźć trzeci.  To jest sferyczna wersja twierdzenia Pitagorasa, które możemy zapisać jako:

cos c = cos b   cos a

Cudzysłów
Mamy też ogólniejsze twierdzenie cosinusów dla trójkątów sferycznych na sferze o promieniu R =1, gdzie kąty α, β, γ są kątami sferycznymi trójkąta ABC.

XII Twierdzenie Kopernika:
cos c = cos a   cos b + sin a   sin b   cos γ

Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki i przynajmniej jeden kąt, to możemy znaleźć trzeci, co jest sferyczną wersją twierdzenia cosinusów dla wszystkich trójkątów płaskich.

 

[Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

Akademia Kopernikanska
Do góry
Polityka prywatności
Polityka Cookies
Konkursy
Deklaracja Dostępności
Kontakt
biuro@akademiakopernikańska.gov.pl
office@nca.gov.pl
+48 782 950 350
Kontakt dla mediów
media@akademiakopernikanska.pl
+48 782 950 050
Social Media
  • Obserwuj
  • Obserwuj
  • Obserwuj
  • Obserwuj
  • Obserwuj
Cudzysłów
Copernican Cosine Theorems for Spherical Triangles

Chapter XIV

Theorems III and XII

Cudzysłów
We consider three points A, B, and C on a sphere of radius R. If we connect them by arcs (along great circles), we obtain a spherical triangle ABC.
We consider right-angled spherical triangles with sides shorter than a semicircle, as shown in the figure.
Cudzysłów
Copernicus’ Third Theorem:

In a right-angled spherical triangle ABC on a sphere of radius R (where angle Cis a right angle), the following proportion between the sides holds:

AB / BC = R / BC

That is, the ratio of the hypotenuse to one leg equals the ratio of the radius to the adjacent leg. This means that if we know two sides, we can determine the third.

[Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, pp. 63–64]

Cudzysłów
In other words, Copernicus proved a special case of the spherical law of cosines.
Now, we may assume that the sphere has radius R =1.

We measure in radians the length of the side (arc) opposite to a given angle as an arc on the sphere (from the sphere’s center). We have:

AB = c         BC = a         AC = b
(here a, b, c are the measures of angles AOB, BOC, AOC in radians)

If angle C is right, we can write Copernicus’ theorem as

cos c / cos b = cos a

[Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, pp. 63–64]

Cudzysłów
Theorem of Pythagoras for spherical triangles

That is, if we know two sides, we can find the third.This is the spherical version of the Pythagorean theorem, which can be written as:

cos c = cos b   cos a

Cudzysłów
We also have the general spherical law of cosines for triangles on a sphere of radius R=1, where α, β, γ are the spherical angles of triangle ABC.

Copernicus’ Twelfth Theorem:
cos c = cos a   cos b + sin a   sin b   cos γ

That is, if we know two sides and at least one angle, we can determine the third, which is the spherical version of the law of cosines for all plane triangles.
 

[Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, p. 73]

Akademia Kopernikanska
Up
Privacy Policy
Cookies Policy
Contests
Accessibility Declaration
Contact
biuro@akademiakopernikańska.gov.pl
office@nca.gov.pl
+48 782 950 350
Contact for media
media@akademiakopernikanska.pl
+48 782 950 050
Social Media
  • Obserwuj
  • Obserwuj
  • Obserwuj
  • Obserwuj
  • Obserwuj
Ta strona korzysta z ciasteczek aby świadczyć usługi na najwyższym poziomie. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na ich użycie zgodnie z polityką prywatności .