Logo Akademii Kopernikańskiej
  • Akademia
    • O Akademii Kopernikańskiej
      • Zgromadzenie Ogólne
      • Prezydium AK
      • Centrum Badawcze
      • Biuro Akademii Kopernikańskiej
    • Izby Akademii Kopernikańskiej:
      • Izba Astronomii i Nauk Matematyczno-Przyrodniczych
      • Izba Nauk Medycznych
      • Izba Nauk Ekonomicznych i Zarządzania
      • Izba Filozofii i Teologii
      • Izba Nauk Prawnych
    • Nagrody Kopernikańskie
      • Ambasadorowie Akademii Kopernikańskiej
    • Współpraca Akademii Kopernikańskiej:
      • Partnerzy Akademii Kopernikańskiej
      • Partnerzy w promocji Wystawy
  • Światowy Kongres Kopernikański
    • I Światowy Kongres Kopernikański 2023
      • Program
      • Ustanowienie Akademii Kopernikańskiej
    • Panele konferencyjne:
      • Astronomia i Nauki Matematyczno-Przyrodnicze
      • Ekonomia i Zarządzanie
      • Prawo
      • Filozofia i Teologia
      • Nauki Medyczne
    • Archiwum I ŚKK:
      • YouTube
      • Kopernik TV
      • Kronika Aktualności
      • Galeria zdjęć
  • Wokół Mikołaja Kopernika
    • Obchody urodzin Mikołaja Kopernika:
      • 550 rocznica urodzin – I Światowy Kongres Kopernikański 2023
      • 552 rocznica urodzin – Audycja Radiowa Inspirowana Wystawą
    • Dzieła Mikołaja Kopernika
    • Cytaty Mikołaja Kopernika
    • Wystawa
      • Konkursy o Mikołaju Koperniku
    • Wykłady Szlakiem Mikołaja Kopernika:
      • Przystanek Lidzbark Warmiński
  • Wydawnictwo AK (WAK)
    • O Wydawnictwie
    • Informacje dla Autorów
    • Nowości wydawnicze
    • Periodyki
    • Komitet Redakcyjny i Rada Naukowa
  • Aktualności
  • Kontakt
Menu
„Euro a sprawa polska” – relacja z konferencji

„Euro a sprawa polska” – relacja z konferencji

by admin | gru 18, 2023 | Aktualności

Zapraszamy do obejrzenia galerii zdjęć z konferencji naukowej „Euro a sprawa polska”, organizowanej we współpracy z Narodowym Bankiem Polski. Więcej zdjęć dostępnych jest na facebookowej stronie Akademii...
Międzynarodowa konferencja naukowa „Euro a sprawa polska – jakie wnioski płyną z pierwszej części konferencji poświęconej euro?” (11-12.12.2023)

Międzynarodowa konferencja naukowa „Euro a sprawa polska – jakie wnioski płyną z pierwszej części konferencji poświęconej euro?” (11-12.12.2023)

by admin | gru 8, 2023 | Aktualności

Akademia Kopernikańska oraz Szkoła Główna Mikołaja Kopernika zapraszają na międzynarodową konferencję naukową „Euro a sprawa polska – jakie wnioski płyną z pierwszej części konferencji poświęconej euro?”, która odbędzie się w dniach 11-12 grudnia br. Konferencja...
„Polska jako lider Europy Środkowej” – Konferencja w Chicago

„Polska jako lider Europy Środkowej” – Konferencja w Chicago

by admin | gru 8, 2023 | Aktualności

2 grudnia 2023 r. w chicagowskim Copernicus Center odbyła się konferencja pt. „Polska jako lider Europy Środkowej”, której partnerem strategicznym i merytorycznym była Akademia Kopernikańska. W wydarzeniu wzięli udział m. in. dr Tomasz Rzymkowski – Sekretarz Stanu w...
Międzynarodowa konferencja naukowa „Federalizm a koegzystencja? Rozbieżne ścieżki dla UE i rola państw członkowskich”

Międzynarodowa konferencja naukowa „Federalizm a koegzystencja? Rozbieżne ścieżki dla UE i rola państw członkowskich”

by admin | lis 27, 2023 | Aktualności

prof. dr hab. Witold Mazurek, Dyrektor Biura Akademii Kopernikańskiej W dniach 23-24 listopada 2023 r. w Akademii Środkowoeuropejskiej w Budapeszcie odbyła się międzynarodowa konferencja naukowa „Federalizm a koegzystencja? Rozbieżne ścieżki dla UE i rola państw...
Granty Mikołaja Kopernika – ogłoszenie o konkursie i formularz wniosku

Granty Mikołaja Kopernika – ogłoszenie o konkursie i formularz wniosku

by admin | lis 27, 2023 | Ogłoszenia

Nawet 1,5 mln złotych na ważne projekty badawcze mogą otrzymać międzynarodowe konsorcja naukowe składające się z naukowców o uznanej pozycji międzynarodowej. Aby otrzymać Grant Mikołaja Kopernika należyrealizować ważne projekty badawcze w obszarach kopernikańskich:...
« Older Entries
Next Entries »

Recent Posts

  • Ekonomia i gospodarka w czasach niepewności oczami ekspertów.
  • XI Kongres Ekonomistów Polskich: Ekonomia i gospodarka w czasach niepewności
  • Wesołych Świąt i szczęśliwego Nowego Roku 2026
  • Merry Christmas and Happy New Year 2026
  • XI Kongres Ekonomistów Polskich: Ekonomia i gospodarka w czasach niepewności.

Recent Comments

Brak komentarzy do wyświetlenia.
Cudzysłów
Kopernikańskie twierdzenia cosinusów dla trójkątów sferycznych

Rozdział XIV

Twierdzenia III i XII

Cudzysłów
Rozważamy trzy punkty A, B, i C na sferze o promieniu R. Jeżeli połączymy je łukami (wzdłuż kół wielkich) to otrzymamy trójkąt sferyczny ABC.
Rozważamy trójkąty, które są prostokątne i mają boki krótsze niż półokrąg, jak na rysunku.
Cudzysłów
III Twierdzenie Kopernika:

W prostokątnym trójkącie sferycznym ABC na sferze o promieniu R (gdzie kąt C jest prosty) zachodzą następujące proporcje pomiędzy długościami boków:

AB / BC = R / BC

Czyli że stosunek przeciwprostokątnej do jednej z przyprostokątnych jest równy stosunkowi promienia do drugiej przyprostokątnej. Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki, to możemy znaleźć trzeci.

[Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

Cudzysłów
Czyli Kopernik dowiódł szczególną wersję twierdzenia cosinusów dla trójkątów sferycznych.  Teraz możemy  założyć że promień sfery R =1.

Mierzymy w radianach długość boku (łuku) leżącego naprzeciwko danego kąta jako łuku na sferze (od środka sfery) i mamy:

AB = c         BC = a         AC = b
(tutaj a, b, c są miarami kątów AOB, BOC, AOC w radianach)

Jeżeli kąt C jest prosty, możemy zapisać twierdzenie Kopernika jako

cos c / cos b = cos a

[Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

Cudzysłów
Twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów sferycznych

Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki, to możemy znaleźć trzeci.  To jest sferyczna wersja twierdzenia Pitagorasa, które możemy zapisać jako:

cos c = cos b   cos a

Cudzysłów
Mamy też ogólniejsze twierdzenie cosinusów dla trójkątów sferycznych na sferze o promieniu R =1, gdzie kąty α, β, γ są kątami sferycznymi trójkąta ABC.

XII Twierdzenie Kopernika:
cos c = cos a   cos b + sin a   sin b   cos γ

Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki i przynajmniej jeden kąt, to możemy znaleźć trzeci, co jest sferyczną wersją twierdzenia cosinusów dla wszystkich trójkątów płaskich.

 

[Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

Akademia Kopernikanska
Do góry
Polityka prywatności
Polityka Cookies
Konkursy
Deklaracja Dostępności
Kontakt
biuro@akademiakopernikańska.gov.pl
office@nca.gov.pl
+48 782 950 350
Kontakt dla mediów
media@akademiakopernikanska.pl
+48 782 950 050
Social Media
  • Follow
  • Follow
  • Follow
  • Follow
  • Follow
Cudzysłów
Copernican Cosine Theorems for Spherical Triangles

Chapter XIV

Theorems III and XII

Cudzysłów
We consider three points A, B, and C on a sphere of radius R. If we connect them by arcs (along great circles), we obtain a spherical triangle ABC.
We consider right-angled spherical triangles with sides shorter than a semicircle, as shown in the figure.
Cudzysłów
Copernicus’ Third Theorem:

In a right-angled spherical triangle ABC on a sphere of radius R (where angle Cis a right angle), the following proportion between the sides holds:

AB / BC = R / BC

That is, the ratio of the hypotenuse to one leg equals the ratio of the radius to the adjacent leg. This means that if we know two sides, we can determine the third.

[Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, pp. 63–64]

Cudzysłów
In other words, Copernicus proved a special case of the spherical law of cosines.
Now, we may assume that the sphere has radius R =1.

We measure in radians the length of the side (arc) opposite to a given angle as an arc on the sphere (from the sphere’s center). We have:

AB = c         BC = a         AC = b
(here a, b, c are the measures of angles AOB, BOC, AOC in radians)

If angle C is right, we can write Copernicus’ theorem as

cos c / cos b = cos a

[Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, pp. 63–64]

Cudzysłów
Theorem of Pythagoras for spherical triangles

That is, if we know two sides, we can find the third.This is the spherical version of the Pythagorean theorem, which can be written as:

cos c = cos b   cos a

Cudzysłów
We also have the general spherical law of cosines for triangles on a sphere of radius R=1, where α, β, γ are the spherical angles of triangle ABC.

Copernicus’ Twelfth Theorem:
cos c = cos a   cos b + sin a   sin b   cos γ

That is, if we know two sides and at least one angle, we can determine the third, which is the spherical version of the law of cosines for all plane triangles.
 

[Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, p. 73]

Akademia Kopernikanska
Up
Privacy Policy
Cookies Policy
Contests
Accessibility Declaration
Contact
biuro@akademiakopernikańska.gov.pl
office@nca.gov.pl
+48 782 950 350
Contact for media
media@akademiakopernikanska.pl
+48 782 950 050
Social Media
  • Follow
  • Follow
  • Follow
  • Follow
  • Follow
Ta strona korzysta z ciasteczek aby świadczyć usługi na najwyższym poziomie. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na ich użycie zgodnie z polityką prywatności .