Logo Akademii Kopernikańskiej

Any questions?
Contact us!

If you need additional information, we are at your disposal.
Please send your inquiry via the form.








    The administrator of the personal data provided in the form is the Nicolaus Copernicus Academy, based in Warsaw.
    The data will be processed for purposes related to the organization of the World Copernican Congress (the legal basis for processing is consent), as well as for the possible establishment, exercise, or defense of legal claims.

    NICOLAUS COPERNICUS ACADEMY
    ul. Nowogrodzka 47a, 00-695 Warsaw

    NIP: 7011104698,
    REGON: 523046514

    biuro@akademiakopernikanska.gov.pl
    +48 782 950 350

    Data Protection Inspector
    Piotr Matczuk
    p.matczuk@akademiakopernikanska.gov.pl

    OSH and Fire Protection Inspector
    Gracjan Rutkowski,
    L SERVICE Gracjan Rutkowski

    Media contact
    media@akademiakopernikanska.gov.pl
    Cudzysłów
    Kopernikańskie twierdzenia cosinusów dla trójkątów sferycznych

    Rozdział XIV

    Twierdzenia III i XII

    Cudzysłów
    Rozważamy trzy punkty A, B, i C na sferze o promieniu R. Jeżeli połączymy je łukami (wzdłuż kół wielkich) to otrzymamy trójkąt sferyczny ABC.
    Rozważamy trójkąty, które są prostokątne i mają boki krótsze niż półokrąg, jak na rysunku.
    Cudzysłów
    III Twierdzenie Kopernika:

    W prostokątnym trójkącie sferycznym ABC na sferze o promieniu R (gdzie kąt C jest prosty) zachodzą następujące proporcje pomiędzy długościami boków:

    AB / BC = R / BC

    Czyli że stosunek przeciwprostokątnej do jednej z przyprostokątnych jest równy stosunkowi promienia do drugiej przyprostokątnej. Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki, to możemy znaleźć trzeci.

    [Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

    Cudzysłów
    Czyli Kopernik dowiódł szczególną wersję twierdzenia cosinusów dla trójkątów sferycznych.  Teraz możemy  założyć że promień sfery R =1.

    Mierzymy w radianach długość boku (łuku) leżącego naprzeciwko danego kąta jako łuku na sferze (od środka sfery) i mamy:

    AB = c         BC = a         AC = b
    (tutaj a, b, c są miarami kątów AOB, BOC, AOC w radianach)

    Jeżeli kąt C jest prosty, możemy zapisać twierdzenie Kopernika jako

    cos c / cos b = cos a

    [Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

    Cudzysłów
    Twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów sferycznych

    Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki, to możemy znaleźć trzeci.  To jest sferyczna wersja twierdzenia Pitagorasa, które możemy zapisać jako:

    cos c = cos b   cos a

    Cudzysłów
    Mamy też ogólniejsze twierdzenie cosinusów dla trójkątów sferycznych na sferze o promieniu R =1, gdzie kąty α, β, γ są kątami sferycznymi trójkąta ABC.

    XII Twierdzenie Kopernika:
    cos c = cos a   cos b + sin a   sin b   cos γ

    Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki i przynajmniej jeden kąt, to możemy znaleźć trzeci, co jest sferyczną wersją twierdzenia cosinusów dla wszystkich trójkątów płaskich.

     

    [Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

    Akademia Kopernikanska
    Do góry
    Polityka prywatności
    Polityka Cookies
    Konkursy
    Deklaracja Dostępności
    Kontakt
    biuro@akademiakopernikańska.gov.pl
    office@nca.gov.pl
    +48 782 950 350
    Social Media
    Cudzysłów
    Copernican Cosine Theorems for Spherical Triangles

    Chapter XIV

    Theorems III and XII

    Cudzysłów
    We consider three points A, B, and C on a sphere of radius R. If we connect them by arcs (along great circles), we obtain a spherical triangle ABC.
    We consider right-angled spherical triangles with sides shorter than a semicircle, as shown in the figure.
    Cudzysłów
    Copernicus’ Third Theorem:

    In a right-angled spherical triangle ABC on a sphere of radius R (where angle Cis a right angle), the following proportion between the sides holds:

    AB / BC = R / BC

    That is, the ratio of the hypotenuse to one leg equals the ratio of the radius to the adjacent leg. This means that if we know two sides, we can determine the third.

    [Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, pp. 63–64]

    Cudzysłów
    In other words, Copernicus proved a special case of the spherical law of cosines.
    Now, we may assume that the sphere has radius R =1.

    We measure in radians the length of the side (arc) opposite to a given angle as an arc on the sphere (from the sphere’s center). We have:

    AB = c         BC = a         AC = b
    (here a, b, c are the measures of angles AOB, BOC, AOC in radians)

    If angle C is right, we can write Copernicus’ theorem as

    cos c / cos b = cos a

    [Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, pp. 63–64]

    Cudzysłów
    Theorem of Pythagoras for spherical triangles

    That is, if we know two sides, we can find the third.This is the spherical version of the Pythagorean theorem, which can be written as:

    cos c = cos b   cos a

    Cudzysłów
    We also have the general spherical law of cosines for triangles on a sphere of radius R=1, where α, β, γ are the spherical angles of triangle ABC.

    Copernicus’ Twelfth Theorem:
    cos c = cos a   cos b + sin a   sin b   cos γ

    That is, if we know two sides and at least one angle, we can determine the third, which is the spherical version of the law of cosines for all plane triangles.
     

    [Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, p. 73]

    Akademia Kopernikanska
    Up
    Privacy Policy
    Cookies Policy
    Contests
    Accessibility Declaration
    Contact
    biuro@akademiakopernikańska.gov.pl
    office@nca.gov.pl
    +48 782 950 350
    Social Media