Quotes
by Nicolaus Copernicus

"Spośród licznych i różnorodnych sztuk i nauk, budzących w nas zamiłowanie i będących dla umysłów ludzkich pokarmem, tym – według mego zdania – przede wszystkim poświęcać się należy i te z największym uprawiać zapałem, które obracają się w kręgu rzeczy najpiękniejszych i najbardziej godnych poznania. Takimi są zaś nauki, które zajmują się cudownymi obrotami we wszechświecie i biegami gwiazd, ich rozmiarami i odległościami, ich wschodem i zachodem oraz przyczynami wszystkich innych zjawisk na niebie, a w końcu wyjaśniają cały układ świata. A cóż piękniejszego nad niebo, które przecież ogarnia wszystko, co piękne?"

[Mikołaja Kopernika, „O obrotach. Księga Pierwsza.”, OSSOLINEUM, Towarzystwo Naukowe w Toruniu – Prace Popularnonaukowe nr 50, Wrocław, 1987, str. 19., 9–21 linia]

"Unter den zahlreichen und vielfältigen Künsten und Wissenschaften, die in uns Vorlieben wecken und den menschlichen Geist nähren, sollten wir meiner Meinung nach vor allem denen unsere Aufmerksamkeit widmen und uns mit größtem Eifer mit ihnen beschäftigen, die sich mit den schönsten und am meisten wissenswerten Dingen befassen. Solche Wissenschaften sind diejenigen, die sich mit den wunderbaren Umläufen im Universum und den Bewegungen der Sterne, ihren Größen und Entfernungen, ihrem Auf- und Untergang sowie den Ursachen aller anderen Himmelserscheinungen beschäftigen und schließlich die gesamte Anordnung der Welt erklären. Und was ist schöner als der Himmel, der doch alles Schöne umschließt?"

[Nikolaus Kopernikus, „Über die Umlaufbahnen. Erstes Buch.”, OSSOLINEUM, Wissenschaftliche Gesellschaft in Toruń – Populärwissenschaftliche Arbeiten Nr. 50, Wrocław, 1987, S. 19, Zeilen 9-21]

"Among the many various literary and artistic pursuits which invigorate men’s minds, the strongest affection and utmost zeal should, I think, promote the studies concerned with the most beautiful objects, most deserving to be known. "This is the nature of the discipline which deals with the universe’s divine revolutions, the stars’ motions, sizes, distances, risings and settings, as well as the causes of the other phenomena in the sky, and which, in short, explains its whole appearance. What indeed is more beautiful than heaven, which of course contains all things of beauty?

[Mikołaja Kopernika, „O obrotach. Księga Pierwsza.”, OSSOLINEUM, Towarzystwo Naukowe w Toruniu-Prace Popularnonaukowe nr 50, Wrocław, 1987, strona 19, wiersze 9-21]

"Parmi les nombreux et divers arts et sciences, suscitant en nous la passion et nourrissant les réflexions humaines, à ceux-ci – à mon avis – il convient de se consacrer et de les cultiver avec le plus grand enthousiasme; ceux-là qui tournent autour des choses les plus belles et les plus dignes d'être découvertes. Telles dont les sciences qui traitent des merveilleuses révolutions de l’univers et de la course des étoiles, de leurs tailles et distances, de leur lever et coucher, et des causes de tous les autres phénomènes dans le ciel, et qui expliquent finalement tout le système du monde. Et quoi de plus beau que le ciel, qui par ailleurs englobe tout ce qui est beau ?

[Nicolas Copernic, « Des révolutions. Livre un. », OSSOLINEUM, Société scientifique de Toruń – Ouvrages de vulgarisation scientifique n° 50, Wrocław, 1987, page 19, lignes 9-21]

"Tra le numerose e varie arti e scienze, che destano in noi passione e sono nutrimento per le menti umane, è a quelle – a mio avviso – che principalmente bisogna dedicarsi e coltivare con il massimo zelo, che ruotano intorno alle cose più belle e più degne di conoscenza. Tali sono le scienze che si occupano dei meravigliosi moti dell’universo e delle corse delle stelle, delle loro dimensioni e distanze, del loro sorgere e tramontare e delle cause di tutti gli altri fenomeni celesti, e infine spiegano l’intero ordine del mondo. È cosa c'è di più bello del cielo, che abbraccia tutto ciò che è bello?"

[Mikołaj Kopernik, „De revolutionibus. Liber primus.”, OSSOLINEUM, Societas Scientifica Thorunensis – Opera popularia scientifica Nr. 50, Wratislaviae, 1987, pagina 19, lineae 9-21]

"Choć niezliczone są klęski, wskutek których królestwa, księstwa i rzeczypospolite upadać zwykły, to jednak według mego mniemania, cztery są najsilniejsze: niezgoda, śmiertelność, niepłodność ziemi i spodlenie monety. Pierwsze trzy są tak oczywiste, iż nikt im nie przeczy, jednak czwarta, dotycząca monety, uznawana jest tylko przez nielicznych, i to głębiej zastanawiających się wskutek tego, że oddziaływa na upadek państwa nie od razu i gwałtownie, lecz powoli i skrycie."

[Mikołaj Kopernik, „Sposób bicia monety,” Pracownia Wydawnicza „Elset,” ISBN 798-83-61549-45-1, Olsztyn, 2023, str. 50, wers 1-7]

"Although innumerable are the calamities by which kingdoms, principalities and republics used to fall, but in my opinion, four are the strongest: discord, mortality, the infertility of the earth and the debasement of coinage. The first three are so obvious that no one denies them, however, the fourth, concerning the coinage, is recognised only by a few, and more deeply reflecting on the fact that it has an effect on the decline of the state not immediately and violently, but slowly and secretly."

[Mikołaj Kopernik, „Sposób bicia monety,” Pracownia Wydawnicza „Elset,” ISBN 798-83-61549-45-1, Olsztyn, 2023, str. 50, wers 1-7]

"Bien qu'il y ait d'innombrables désastres à la suite desquels des royaumes, des principautés et des républiques tombent d’ordinaire, néanmoins à mon avis, quatre sont les plus puissants : la discorde, la mortalité, la stérilité de la terre et la dégradation de la monnaie. Les trois premiers sont si évidents que personne ne les nie, cependant, le quatrième, concernant la pièce de monnaie, n'est reconnu que par quelques-uns, et par conséquent y songeant plus profondément car cela n’affecte pas immédiatement l’effondrement de l’État, ni violemment, mais lentement et secrètement."

[Nicolas Copernic, “La manière de battre la monnaie.”, Pracownia Wydawnicza “ElSet”, ISBN 798-83-61549-45-1, Olsztyn, 2023, p. 50, lignes 1 à 7]

„Obwohl es unzählige Katastrophen gibt, durch die früher Königreiche, Fürstentümer und Republiken zusammenbrachen, sind meiner Meinung nach vier die stärksten: Zwietracht, Sterblichkeit, Unfruchtbarkeit des Bodens und Entwertung der Währung. Die ersten drei sind so offensichtlich, dass niemand ihnen widerspricht, doch die vierte, die die Währung betrifft, wird nur von wenigen anerkannt, und zwar von denen, die tiefgründiger nachdenken, weil sie den Niedergang des Staates nicht sofort und gewaltsam, sondern langsam und heimlich bewirkt.”

[Nikolaus Kopernikus, „Monetae cudendae ratio”, Pracownia Wydawnicza „ElSet”, ISBN 798-83-61549-45-1, Olsztyn, 2023, S. 50, Zeilen 1-7]

"Sebbene siano innumerevoli le calamità che abitualmente portano alla caduta di regni, principati e repubbliche, ritengo che quattro siano le più potenti: la discordia, la mortalità, la sterilità della terra e la svalutazione della moneta. Le prime tre sono così evidenti che nessuno le nega, mentre la quarta, riguardante la moneta, è riconosciuta solo da pochi e da coloro che riflettono più profondamente, poiché influisce sul declino dello stato non subito e violentemente, ma lentamente e segretamente."

[Mikołaj Kopernik, “Sposób Bicia Monety.” (Il metodo di conio della moneta), Pracownia Wydawnicza „ElSet”, ISBN 978-83-61549-45-1, Olsztyn, 2023, p. 50, linee 1-7]

The theorem of Sines. One of the most important mathematical proofs by Nicolaus Copernicus.

Twierdzenie Sinusów

Copernicus considered triangles inscribed in a circle of radius R.

Theorem I: “In a triangle, when the angles are known, the ratios of its sides are also known.”

[N. Copernicus (1473-1543),”Nicolaus Copernicus of Toruń. Six Books on the Revolutions of the Heavenly Spheres.” Warsaw, Chapter XIII,p. 57]

Theorem II: “If in a triangle, one angle and two sides are given, the third side and the other two angles will be known.”

[N. Copernicus (1473-1543),”Nicolaus Copernicus of Toruń. Six Books on the Revolutions of the Heavenly Spheres.” Warsaw, Chapter XIII, p. 57}

Theorem III: “When all the sides of a triangle are given, its angles will also be known.”

[N. Copernicus (1473-1543),”Nicolaus Copernicus of Toruń. Six Books on the Revolutions of the Heavenly Spheres.” Warsaw, p. 60]

Nicolaus Copernicus based his proofs on his own trigonometric function tables.
Table of chords in a circle.

Two excerpts from among a hundred similar ones compiled in Copernicus’ table
[N. Copernicus (1473-1543),”Nicolaus Copernicus of Toruń. Six Books on the Revolutions of the Heavenly Spheres.” Warsaw, Chapter XI, p. 54]

…..”Któż albowiem zagłębiając się w rzeczach, które w najlepszym porządku ułożone, widzi Boską mocą kierowane, przez pilne ich rozważanie i bliższe ich poznanie, nie zachęci się do cnoty i nie będzie podziwiał Stwórcy wszech-świata, w którym się całe szczęście i wszelkie dobro zawiéra?.....”

M. Kopernik w Przedmowie w „N. Copernici Opera.”-„ Dzieła Kopernika.”

For when a man is occupied with things which he sees established in the finest order and directed by divine management, will not the unremitting contemplation of them and a certain familiarity with them stimulate him to the best and to admiration for the Maker of everything, in whom are all happiness and every good?

Nicolaus Copernicus INTRODUCTION

…..”Quis enim inhaerdo iis, quae in optimo ordine constituta videat divina dispensation dirigi: assidua eorum contemplation et quadam consuetudine non provocetur ad optima, admireturque Opificem omnium, in quo tota felicitas est et omne bonum?.....”

N. Copernicus in Praefatione w „N. Copernici Opera.”-„ Dzieła Kopernika.”

Copernican Cosine Theorems for Spherical Triangles

Chapter XIV

Theorems III and XII

We consider three points A, B and C on a sphere of radius R. If we connect them by arcs (along great circles), we obtain a spherical triangle ABC.
We consider right-angled spherical triangles with sides shorter than a semicircle, as shown in the figure.

Copernicus’ Third Theorem:

In a right-angled spherical triangle ABC on a sphere of radius R (where angle C is a right angle), the following proportion between the sides holds:

AB / BC = R / BC

That is, the ratio of the hypotenuse to one leg equals the ratio of the radius to the adjacent leg. This means that if we know two sides, we can determine the third.

[Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, pp. 63–64]

In other words, Copernicus proved a special case of the spherical law of cosines. Now, we may assume that the sphere has radius R=1.

We measure in radians the length of the side (arc) opposite to a given angle as an arc on the sphere (from the sphere’s center). We have:

AB = c BC = a AC = b
(here a, b, c are the measures of angles AOB, BOC, AOC in radians)

If angle C is right, we can write Copernicus’ theorem as:

cos c / cos b = cos a

[Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, pp. 63–64]

Theorem of Pythagoras for spherical triangles

That is, if we know two sides, we can find the third.This is the spherical version of the Pythagorean theorem, which can be written as:

cos c = cos b cos a

We also have the general spherical law of cosines for triangles on a sphere of radius R=1, where α,β,γ are the spherical angles of triangle ABC.

Copernicus’ Twelfth Theorem:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ

That is, if we know two sides and at least one angle, we can determine the third, which is the spherical version of the law of cosines for all plane triangles.

[Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, p. 73]

Quotesby Nicolaus Copernicus

Quotes
by Nicolaus Copernicus