Logo Akademii Kopernikańskiej

Law

Day 2 – February 20, 2023

“Old Democracies, New Democracies – Equal Rights, Unequal Duties?”

Host:

Prof. Andrzej Bryk

Jagiellonian University

Participants:

Prof. Fabrizio Giulimondi

La Sapienza University, Rome

Prof. Adrian Vermeule

Harvard University

Prof. Dariusz Dudek

John Paul II Catholic University of Lublin

Prof. Anna Łabno

University of Silesia
    Day 3 – February 21, 2023

    “Does Constitutionalism of Western Civilization Still Exist?”

    Host:

    Dr. Krzysztof Szczucki

    University of Warsaw

    Participants:

    View Coverage

    Sen. Manuel Vescovi

    Senator of the Republic of Italy

    Dr. Marius S. Ostrowski

    European University Institute, Florence

    Prof. Tomasz Grzegorz Grosse

    University of Warsaw
      Day 3 – February 21, 2023

      “What Should Be Done About Russia?”

      Host:

      Prof. Andrzej Nowak

      Participants:

      View Coverage

      Prof. Mark Bassin

      Södertörn University, Stockholm

      Dr. Darius Staliunas

      Lithuanian Institute of History, Vilnius

      Prof. Hiroaki Kuromiya

      Indiana University

        Cudzysłów
        Kopernikańskie twierdzenia cosinusów dla trójkątów sferycznych

        Rozdział XIV

        Twierdzenia III i XII

        Cudzysłów
        Rozważamy trzy punkty A, B, i C na sferze o promieniu R. Jeżeli połączymy je łukami (wzdłuż kół wielkich) to otrzymamy trójkąt sferyczny ABC.
        Rozważamy trójkąty, które są prostokątne i mają boki krótsze niż półokrąg, jak na rysunku.
        Cudzysłów
        III Twierdzenie Kopernika:

        W prostokątnym trójkącie sferycznym ABC na sferze o promieniu R (gdzie kąt C jest prosty) zachodzą następujące proporcje pomiędzy długościami boków:

        AB / BC = R / BC

        Czyli że stosunek przeciwprostokątnej do jednej z przyprostokątnych jest równy stosunkowi promienia do drugiej przyprostokątnej. Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki, to możemy znaleźć trzeci.

        [Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

        Cudzysłów
        Czyli Kopernik dowiódł szczególną wersję twierdzenia cosinusów dla trójkątów sferycznych.  Teraz możemy  założyć że promień sfery R =1.

        Mierzymy w radianach długość boku (łuku) leżącego naprzeciwko danego kąta jako łuku na sferze (od środka sfery) i mamy:

        AB = c         BC = a         AC = b
        (tutaj a, b, c są miarami kątów AOB, BOC, AOC w radianach)

        Jeżeli kąt C jest prosty, możemy zapisać twierdzenie Kopernika jako

        cos c / cos b = cos a

        [Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

        Cudzysłów
        Twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów sferycznych

        Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki, to możemy znaleźć trzeci.  To jest sferyczna wersja twierdzenia Pitagorasa, które możemy zapisać jako:

        cos c = cos b   cos a

        Cudzysłów
        Mamy też ogólniejsze twierdzenie cosinusów dla trójkątów sferycznych na sferze o promieniu R =1, gdzie kąty α, β, γ są kątami sferycznymi trójkąta ABC.

        XII Twierdzenie Kopernika:
        cos c = cos a   cos b + sin a   sin b   cos γ

        Znaczy to, że jeżeli znamy dwa boki i przynajmniej jeden kąt, to możemy znaleźć trzeci, co jest sferyczną wersją twierdzenia cosinusów dla wszystkich trójkątów płaskich.

         

        [Kopernik, Mikołaj (1473-1543), “Mikołaja Kopernika Toruńczyka O obrotach ciał niebieskich ksiąg sześć”,  Kujawsko-Pomorska Biblioteka cyfrowa, UMK, 1854, Rozdział XIII, str.63-64]

        Akademia Kopernikanska
        Do góry
        Polityka prywatności
        Polityka Cookies
        Konkursy
        Deklaracja Dostępności
        Kontakt
        biuro@akademiakopernikańska.gov.pl
        office@nca.gov.pl
        +48 782 950 350
        Social Media
        Cudzysłów
        Copernican Cosine Theorems for Spherical Triangles

        Chapter XIV

        Theorems III and XII

        Cudzysłów
        We consider three points A, B, and C on a sphere of radius R. If we connect them by arcs (along great circles), we obtain a spherical triangle ABC.
        We consider right-angled spherical triangles with sides shorter than a semicircle, as shown in the figure.
        Cudzysłów
        Copernicus’ Third Theorem:

        In a right-angled spherical triangle ABC on a sphere of radius R (where angle Cis a right angle), the following proportion between the sides holds:

        AB / BC = R / BC

        That is, the ratio of the hypotenuse to one leg equals the ratio of the radius to the adjacent leg. This means that if we know two sides, we can determine the third.

        [Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, pp. 63–64]
        >

        Cudzysłów
        In other words, Copernicus proved a special case of the spherical law of cosines.
        Now, we may assume that the sphere has radius R =1.

        We measure in radians the length of the side (arc) opposite to a given angle as an arc on the sphere (from the sphere’s center). We have:

        AB = c         BC = a         AC = b
        (here a, b, c are the measures of angles AOB, BOC, AOC in radians)

        If angle C is right, we can write Copernicus’ theorem as

        cos c / cos b = cos a

        [Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, pp. 63–64]

        Cudzysłów
        Theorem of Pythagoras for spherical triangles

        That is, if we know two sides, we can find the third.This is the spherical version of the Pythagorean theorem, which can be written as:

        cos c = cos b   cos a

        Cudzysłów
        We also have the general spherical law of cosines for triangles on a sphere of radius R=1, where α, β, γ are the spherical angles of triangle ABC.

        Copernicus’ Twelfth Theorem:
        cos c = cos a   cos b + sin a   sin b   cos γ

        That is, if we know two sides and at least one angle, we can determine the third, which is the spherical version of the law of cosines for all plane triangles.
         

        [Citation: Copernicus, Nicolaus (1473–1543), De revolutionibus orbium coelestium, Kujawsko-Pomorska Digital Library, UMK, 1854, Chapter XIII, p. 73]

        Akademia Kopernikanska
        Up
        Privacy Policy
        Cookies Policy
        Contests
        Accessibility Declaration
        Contact
        biuro@akademiakopernikańska.gov.pl
        office@nca.gov.pl
        +48 782 950 350
        Social Media